光阴似箭,白驹过隙。
时间过得真快,弹指之间就来到了第二天。
前文有表,CMO考试分为两天,昨天三道题的4.5个小时为上半场,今天的下半场考试同样是4.5小时、同样的三道题、同样的分数。
这是一场持久战,也是对广大数学竞赛生的最重要一战,这一战将决定选手们是保送还是回去高考。这考验的不仅是选手们的数学实力,更是坚定不移的意志力和心理承受能力!
而这些选手普遍不满18周岁。
王庭柏静坐在昨天的位置上等待下半场的考卷的发放。
CMO上半场的考卷已于昨天全部密封,将在今天的考试结束后,六道题一起批阅。
王庭柏信心十足,昨天的三道题他能拿到满分,但战斗尚未结束,今天的三道题还需奋战到底,容不得一丝马虎。
考场外的王庭柏有点紧张,心率很快,一旦拿起笔,心态立马平稳了起来,笔就是他的武器。
CMO下半场的第一题:
用Z表示全体整数构成的集合。求所有的函数:f:Z→Z,满足任意的整数a、b,
均有f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))。
题目很短很短,只有寥寥几字,但是王庭柏却顿时感受到了它的压力。
在别的科目里,很短的题目基本上都是送分题,但是在数学里,就像是证明1个偶数可分为2个质数相加一样,哥德巴赫在1742年提出这個看似简单的问题到现在还没一位数学家能完整破解。
题目越短意味着能在题目上获取的信息越少,难度自然也就越大。
f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))
王庭柏看着题目,感受到了曾经作为学渣做数学题的感觉,竟不知如何下手。
这是一道函数方程,按照套路来做的话,首先很容易可以盲猜到零解和f(x)=2x的解。如果f是数论函数的话,那么f(f(a+b))这一项就难出天际了。如果f是n次的多项式函数的话,那f(f(a+b))这边的次数会变成n2,而左边依旧是n。
肯定是有什么其他的办法。
看到这第一题,顶尖学子们都不由自主的倒吸一口凉气,在这里参加考试的选手都是全国最顶级的学子。
但遇到这题有些人已经开始冒冷汗,有些人则主动放弃看向了下一题。
还有人可能灵光一现,想到了一种方法,但是片刻之后,眼里的神采就暗淡下来,这条路很难行得通。
王庭柏仔细的观察了一下题目,脑海中闪过了柯西方程的概念。
将题中等式记为P(a,b)。
由P(0,x)得f(0)+2f(x)=f(f(x)),①
由P(x,0)的广(2x)+2f(0)=f(f(x)),②
由①,②可得得f(2x)=2f
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